第二十三届 希望杯 全国数学邀请赛
高一㊀第2试试题
一㊁选择题(每小题4分,共40分.
)1.设A ,B 是同一个三角形的两个内角,则不是∙∙A <B 成立的充要条件的是()(A )s i n A <s i n B .(B )s i n 2A <s i n 2B .(C )c o s A >c o s B .(D )c o s 2A >c o s 2B .2.函数f (x )=|l g |2-x ||的单调增区间是()(A )(-ɕ,1)ɣ(3,+ɕ).(B )(1,2)ɣ(3,+ɕ).(C )(-ɕ,
1)ɣ(2,3).(D )(1,2)ɣ(2,3).3.图1中的图形所表示的是将棱长为a 的立方体用一个平面切割后剩下的几何体,则它的体积不等于原立方体体积一半的有(
)个.
图1(A )3.(B )4.(C )5.(D )6.4.{a n }是公比不为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和.给出下面3个命题:(1)若{a n }中既有正数,又有负数,那么{S n }中也既有正数,又有负数;(2){a n }不可能同时具有最大值和最小值;(3)S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30, 构成等比数列.其中,真命题的个数是()(A )0.(B )1.(C )2.(D )3.5.在正数数列{a n }中,a 1=14,a n +1=a n +a n +14,则a 2012=()(A )1012025.(B )1012036.(C )1013025.(D )1013036.6.若存在x ɪ[1,2],使得|a ㊃2x -1|-2>0,则a 的取值范围是()(A )(-12,32).(B )(-ɕ,-12)ɣ(32,+ɕ).(C )(-14,34).(D )(-ɕ,-14)ɣ(34,+ɕ).7.已知O 是坐标原点,动点M 在圆C :(x -4)2+y 2=4上,对该坐标平面内的点N 和P ,若N ң+O M ң=M C ң+MP ң=0,则|N P ң|的取值范围是()(A )[0,12].(B )[1,11].(C )[2,11].(D )[1,12].8.已知关于x 的方程a x 3+b x 2+c x +d =0有三个不同的实根,
其中一个是0,则它的系数中不能是0的仅有()(A )a ,c .(B )b ,c .(C )a ,d .(D )b ,d .
9.已知集合A ={a 关于x 的方程2x +a 4x 2-9=1有唯一实数解},则集合A 的真子集的个数是()(A )0.(B )3.(C )7.(D )8
.图210.如图2所示,已知圆锥的底面半径为7,母线长为14,F C 是轴截面A B C 底角øA C B 的平分线,B D 是底面的一条弦,且øD B C =30ʎ,则直线F C 与B D 的距离是()(A )14.(B )27.(C )37.(D )72.二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.直角梯形A B C D 中,øA B C =90ʎ,A D ʊB C ,A B =A D =2,B C =4,I 为B D 的中点,直线MN 过I 点,且与线段A B ㊁C D 分别交于点M ㊁N ,则A N ң㊃C M ң的最小值是.12.已知y =x 2+x +18且y ɤ10|x +1|,则x 的取值范围是.13.当a ȡ1,0ɤx ɤ1时,函数f (x )=x 2-a x +8的最大值是.14.若实数a ,b 满足0<a <b <1,则f (x )=|x -l o g a b |+x -l o g a 1b +x -l o g b 1b 的最小值是.15.已知三角形三个内角的度数成首项㊁公比均是整数的等比数列,则公比的值等于.16.S u p p o s e m i si n t e g e r ,i f a =(4,m ),b =(-2m ,4),O A ң=a +2b ,O B ң=2a -b ,|O A ң|=|O B ң|,t h e n t h e a r e a o f t h eәO A B i s .17.四面体A B C D 的三组对棱分别相等,长度分别为3,4,x ,那么x 的取值范围是.18.S u p p o s e x ,y ɪR +,a n d x +y =2,t h e nt h ev a l u er a n g ef o r x 3+2x 2y 2+y 3i s .19.设等比数列{a n }的公比q ʂ0,1,S n 表示{a n }的前n 项的和,T n 表示{a n }的前n 项的乘积,T n (k )表示{a n }的前n 项中除去第k 项后所剩余的n -1项的乘积,即T n (k )=T n a k (n ,k ɪN ∗,k ɤn ),则数列{S n T n T n (1)+T n (2)+ +T n (n
)}的前n 项的和是.(用a 1和q 表示)20.在ð324k =1k 3的约数中,平方数有个.三㊁解答题
每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)求数列1,3+7,13+21+31,43+57+73+91, 的第21项中的第
12个数.图3
22.(本题满分15分)在A B =6,A D =4的矩形纸片A B C D 中剪去圆M 与圆M ᶄ,其中圆M 与A B ㊁A D 相切,圆M ᶄ与B C ㊁C D 相切,且圆M 与圆M ᶄ外切,
则剩余部分的面积是否有最大值与最小值?若有,求出最值;若没有,请说明理由.23.(本题满分15分)已知函数f :R ңR 满足:①f (m +n )=f (m )+f (n )-1;②当x >0时,f (x )>1.解答以下问题:(1)求证:f (x )是增函数;(2)若f (2012)=6037,解不等式f (a 2-8a +13)<4.。