B
C
D
1
1
(BOD DOC ) BOC.
2
2
探究新知
圆心O在∠BAC外部 证明:连接AO并延长交⊙O于点D.
D
A O
C B
探究新知
圆周角定理
一条弧所对圆周角 等于它所对圆心角一半;
探究新知
互动探究
问题1 如图,OB,OC都是⊙O半径,点A ,D 是上任意两 点,连接AB,AC,BD,CD.∠BAC与∠BDC相等吗?请说 明理由.
探究新知
推导与论证
圆心O在∠BAC 一边上
圆心O 在 ∠BAC 内部
圆心O在∠BAC 外部
探究新知
圆心O在∠BAC一边上（特殊情形） 证明:
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC 1 BOC. 2
探究新知
圆心O在∠BAC内部
A
证明:连接AO并延长交⊙O于D.
O
BAC
BAD DAC
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
B
=180°-90°-80°=10°.
巩固练习
如图,AB是⊙O直径,∠A＝10°, 则∠ABC＝__8_0_°__．
C
A
O
B
探究新知
例2 如图,分别求出图中∠x大小.
C A
x
60°
x
60°
20° B Dx
E 30°
D
A
B
FC
解:(1)∵同弧所对圆周角相等,∴∠x=60°.
人教版 数學 九年级 上册
24.1 圆有关性质
24.1.4 圆周角
2021
好好学习 天天向上
1
导入新知

A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
• 圆周角定义：
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗C?
C
D
C
E
E D
E D
C D
E
同弧所对圆周角与圆心角的关系
在⊙O任取一个圆周角∠ACB，将圆对 折，使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点 C．由于点C的位置的取法可能不同，这 时折痕可能会在圆周角的什么地方？
圆周角和圆心角的关系
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部．
图 23.1.11
圆周角和圆心角的关系 •如图,量一量圆周角∠AOB与圆心 角∠ACB,它们的大小有什么关系?
图 23.1.11
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角
选做：
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外 部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的 大小关系会怎样?
D
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理:
同弧 (等弧) 所对的圆周 角相等. 都等于这条弧所对的圆心 角的一半.
思考: 同弧或等弧所对 的圆周角相等吗?
试找出下图中所有相等的圆周角。
B C
●O A
2：已知⊙O中弦AB的长等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
3.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
1、 这节课你有什么收获和体会，和大家一起 分享一下吧！ 2、获胜组 作业：必做：预习案作业

上任意一点（除点A、B）,那么， ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？
为什么呢？
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
B
C
即 A 1 BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
（2）在圆周角的内部．

四、同弧所对圆周角与圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角 ∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由 于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
A
O·
B
C
∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠A 即 A 1BOC
24.1圆周角
请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
o
顶点在圆心的角叫圆心角。
A
B
C
顶点在圆上，并且两边都和圆
o
相交的角叫做圆周角．
A
B
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
C
C
o
o
oC
A C B图1 A
o A B图4
C o
图7
B图2 A A
oC B 图5 A
Co 图8
B 图3
oC B
BAD1BOD 2
DAC1DOC 2
D A C D A B 1( D O C D O B ) A 2
BAC1BOC 2
O·
D
C B
定理
定理
C
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．
D A
O·
E
B
推论
半圆（或直径）所对的圆周角 是直角， 90°的圆周角所对的弦 是直径．
图6
o 图9
三、探究
分别量一下图中弧AB所对的两
个圆周角的度数，比较一下，再
变动点C在圆周上的位置，圆周
角的度数有没有变化？你能发现
D

A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D）. A.50° B.80° C.90° D.100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆
O
A B
圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
BC
E
C
O
A
O
D
A B
F
E
A 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? 能用圆周角定理证明你的结论B吗？
圆内接四边形的对角互补。
交于点E，与⊙O2 交于点F。
D
求证：CE∥DF
A
1
C O1
O2
F
E
B
连结AB
ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形
∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E
D
A
∠E＋∠F＝180°
1
CE∥DF
C O1
E
B
O2 F
圆周角定理
❖一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.
❖同弧所对的圆周角相等 C
E O D
B
A
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 都相等，等于它所对的圆心角的一半。

A2
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
A1
A
3
13
课堂探究
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
边形ABCD的对角线.
D
(1)完成下列填空 ∠1=∠4 .
∠2=∠8 . ∠3=∠6 .
∠5=∠7 .
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
14
课堂探究
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
22
随堂检测
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°, 则∠BCD=＿＿50＿°_.
C
D
O
O
A
B
C
A
B
第4题
第5题
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°
,则∠AOB= 166°．
23
随堂检测
4.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=130° ， ∠ADB= 50° .
BAC1BOC 2
8
课堂探究
推导与验证
圆心O在∠BAC 的 内部
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在 ∠BAC 的外部
9
课堂探究
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC1BOC 2
10
课堂探究
圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
D
BAD1BOD 2

BAD1BOD 2
DAC1DOC 2
D A C D A B 1( D O C D O B ) A 2
BAC1BOC 2
O·
D
C B
定理
定理
C
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．
D A
O·
E
B
推论
半圆（或直径）所对的圆周角 是直角， 90°的圆周角所对的弦 是直径．
B
P 120°
600
O.
X
B
A
例题
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
例题
2、如图，在⊙O中，AB为直径，C⌒B = C⌒F,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
C2
C1
C3
A
·O
B
练习
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形
ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪 些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8
∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
D
8 7
3
4
B
6 5
C
方法点拔：由同弧来找相等的圆周角
练习:
2、求圆中角X的度数
O.
70° x
A
24.1圆周角
请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
o
顶点在圆心的角叫圆心角。
A
B
C
顶点在圆上，并且两边都和圆

即 A 1 BOC 2
新课讲解
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
2
BAC 1 BOC
B
2
A
O·
C D
新课讲解
（3）在圆周角的外部． 圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
O
B
C
性质：圆的内接四边形的对角互补。
课堂练习
课本P88练习
课堂小结
1.关于圆周角的概念； 2.关于圆周角的定理； 3.关于圆周角的定理的推论； 4.圆内接多边形概念及定理.
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
E
C
O
A Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
A
O
D
F
E
新课讲解
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边
形ABCD的外接圆。
D
在圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对 的圆心角的和是周角
A
∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180°
在Rt△ABC 中，
A BC AB2 AC2 102 62 8
∵CD平分 ∠ACB，
∴∠ACD= ∠BCD
∴弧AD=弧BD. ∴AD=BD. 在Rt△ABD中，
·O
B
D
∵ AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)

第二十四章
圆
九年级数学上（RJ） 教学课件
24.1 圆的有关性质
导入新课
24.1.4 圆周角
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
∠D=
.
当堂训练
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）√ ×
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） ×
（3）900的角所对的弦是直径 （ ）× （4）同弦所对的圆周角相等 （ ）
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则
∠BCD=＿＿＿_5.0°
D
C
A
OO
D
D
C
B
BAC DAC DAB
1 (DOC DOB) 1 BOC
D
2
2
DAC 1 DOC
A
2
O
C
DAB 1 DOB
A
2
O
B
要点归纳
圆周角定理及其推论
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
Байду номын сангаас
推论1：
A2
同弧所对的圆周角相等.
A1
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备）
圆周角定理
一条弧所对的 圆周角等于它 所对的圆心角 的一半.
O·
CC