高等数学教学

1、高等数学教学23二、微分的几何意义三、微分公式与法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的定义 4引例引例:问此薄片面积改变了多少? 0 x变到,0 xx边长由设正方形面积为 A , 则2020)(xxxAxx 022)( x关于x 的线性主部故A称为函数在 处的微分0 x0 xxxx 02的高阶无穷小的高阶无穷小0 x时为时为x0 x时时,xx 0一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其5处的微分处的微分,)(xfy 在点 x 处的增量可表示为)()(xfxxfy则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xfx点记作yd, fd或即xAyd定理定理: 函数函数)(xfy 在点在点 x 处可微的充要条

2、件是处可微的充要条件是，处可导在点 xxfy)(, )(xfA且)( xoxA即xxfyd)(在点x处可微处可微,6时，当xy 则有xdxfyd)( 从而)(xfxdyd导数也叫作微商导数也叫作微商dy xx)(xdx已知导数求微分已知导数求微分已知微分求导数已知微分求导数若)(xfy 则)(limlim00 xxoAxyxxA故)()(xfxxfy)( xoxA，处可导在点 xxfy)()(xfA且在点 x 处可微，A若)(lim0 xfxyx)(xfxy)0lim(0 xxxxfy)(故)()(xoxxf 线性主部 即)0)(时 xf则，处可导在点 xxfy)(xxfyd)(必要性必要性充

3、分性充分性定理定理: 函数函数)(xfy 在点在点 x 处可微的充要条件是处可微的充要条件是，处可导在点 xxfy)(, )(xfA且即xxfyd)(7例例1 求函数求函数 当当x由由1改变到改变到1.01时的微分时的微分.2xy 解解 函数的微分为函数的微分为dxxdy)(2，01. 0101. 11dxx由已知02. 001. 012dy所以例例2 求下列函数的微分：求下列函数的微分：xysin1）（xxexy 22）（解解)(sin1xddy ）（)2(2xxexddy）（dxxexx)2(dxxeexx)2(dxx)(sinxdxcosxdx28切线纵坐标的增量xxfdy)(0 xta

4、nxx0 xyo)(xfy 0 xyyd)()(00 xfxxfy实例实例MNTP故dxy 0 x时时,设241)(xxf,则 x =2时切线方程为1 xy9（二）设 u(x) , v(x) 均可微 , 则)(. 1vud)(. 2uCd(C 为常数为常数)(. 3vud)0()(. 4vvudvdud udCvduudv2vvduudv（一）基本初等函数的微分公式 (见 P61表)例证：dxuv)(dxvuvu)(dxdxdvuvdxdu)(udvvdu 10例例3 设设 ，求，求 .05lnyxeydy解法一解法一应用微分和导数的关系应用微分和导数的关系方程两边同时求关于方程两边同时求关于

5、 x 的导数得的导数得01yyyxeeyyyyxyeyey1dxxyeyedyyy1解得解得所以所以11例例3 设设 ，求，求 .05lnyxeydy解法二解法二应用微分法则应用微分法则方程两边分别求微分得方程两边分别求微分得01dyydyxedxeyydxxyeyedyyy1即即所以所以dxedyxeyyy)1(12分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xdyydxxdxuf)()(ududufyd)( 微分形式不变性微分形式不变性（三）复合函数的微分则复合函数例例4 设例例5 求)2ln(sin x d，求yd2bxaxey13例例4 设，求yd2bxaxey解法一解法一d

6、xedybxax)(2dxbxaxebxax)(22dxebxabxax2)2(解法二解法二)(2bxaxeddy)(22bxaxdebxaxdxebxabxax2)2(14例例5 求)2ln(sin x d解法二解法二)2ln(sin x d)2(sin2sin1x dx)2(2cos2sin1xd xxxd x2cot2解法一解法一dxxdy )2ln(sindxxx)2(sin2sin1dxx xx)2(2cos2sin1xd x2cot215)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(

7、, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:16xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (特别当17180dx29sin的近似值解解: 设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(29sin4848. 029sin例例6 求185245的近似值

8、解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3xx1)1 (例例7 计算19为了提高球面的光洁解解: 已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,VVdV 01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )只球需用铜多少克 )cmg9 . 8:(3铜的密度估计一下, 每度，要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 例例8 有一批半径为1cm 的球 ,201 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2 微分运算法则微分形式不变性 ：udufu

9、fd)()( u 是自变量或中间变量 )3 微分的应用近似计算211. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点0 x处的ydy ,及,ydy并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd22xxeded )(arctanxe211xd xxee21xdxdsintan. 3x3secdxxd2sin) (. 4Cx2cos2123)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.0 xdy解解: 方程两边求微分, 得dxx23当0 x时,0y由上式得dxdyx210求dyy23dxx3cos306 dy6. 设 , 0a且,nab 则nnba1nanba5. 设24P66 4 (1)，(3 )，(5 )，(7 )，( 9)谢谢！谢谢！