微积分（大学数学基础教程答案）大学数学基础教程（二）多元函数微积分王宝富 钮海习题解答（下）

1、习题11解答设，求解；设，证明：求以下函数的定义域，并画出定义域的图形：1234yx11-1-1O解1yx11-1-1O 2yx-a-bcOzab3 4yxOz4求以下各极限：1=2345证明以下极限不存在：1 21证明 如果动点沿趋向那么；如果动点沿趋向，那么所以极限不存在。2证明： 如果动点沿趋向那么；如果动点沿趋向，那么所以极限不存在。6指出以下函数的间断点：1； 2。解 1为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。 2为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。习题1211；. (2) (3), lnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得 ;(4),(5);(6), ,;2

2、.(1); (2) . 3 ,.4 .5.(1) , , ; (2) ,; (3) , ,; (4) ,.6. 设对角线为z,那么, 当时, =-0.05(m).7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,那么，, ,设x、y、z的绝对误差分别为、,当时, =,z的绝对误差z的相对误差.设内半径为r，内高为h，容积为V，那么,当时,.习题131. =.2.=.(1) =, =.(2) =, =,=.(3) =,=,=.(4) =,=.(1),(2) ,.5 ,.6 (1) 设, ,=, =,=,(3) 设, ,=,=.(4) 设,7.设,1. 8.设,.9. (1)方程两边同时对x求导得解之得(2)

3、方程两边同时对z求导得 解之得 (3) 方程两边同时对x求偏导得 解之得同理方程两边同时对y求偏导得 解之得习题14求以下函数的方向导数1解：2解： 3与轴夹角为解： 由题意知那么 4 求以下函数的梯度1 解： ,)(2)解：，。一个登山者在山坡上点处，山坡的高度z由公式近似，其中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。解：按最陡的道路上登，应当沿3，4方向上登。解：沿方向解：设路径为，在点处在点的切向量为 平行于切向量 因为过习题1-51、求曲线在对应于点处的切线及法平面方程。解：当时，故所求切线方程为：，即: 法平面方程为： 即: 2、求以下空间曲线在指定点处的

4、切线和法平面方程1 在点解 ：将方程两端对x求导，得 在处故所求的切线方程为：法平面方程：2 在点解法1：将方程两端对x求导，得当时，有，故所求的切线方程为：法平面方程： 即：解法2：将方程组两端求微分：得曲线在点处的切向量为 3. 题略解：1令 Fx，y，z=arctg-z, = -1，曲面在点P的切平面方程为：-，即： x - y - 2z -=0；法线方程为：，即： ；2令那么，曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：故所求的切平面方程为：即： 法线方程为： 3令Fx，y，z=2+2-8，=-16ln2，曲面在点P的切平面方程为：4ln2x-2-4ln2y-2-16ln2z-1=0

5、， 即：x-y-4z=0，法线方程为：，即：4、解：， 又抛物线在(1,2)点处的切线斜率为：抛物线在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为故所求的方向导数为：习题1-61题略. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即P(2, -2)为 f(x,y) 的驻点,又 DP=40,=-2故P (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8. 2题略. 解：由 有 驻点：(5,6)和 ，而在点(5,6)取得极小值 又在点不取得极值3、求在闭区域上的最大值和最小值解：由，得唯一驻点(0,0)又在边界即椭圆上, 由，得驻点：所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) 0

6、,-1 (0,1)相应的函数值为： 0 4 4 -1 -14、求抛物线和直线之间的最短距离。解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，它到直线的距离为，d最小当且仅当最小此问题即是求在条件下的最小值。解法1用拉格朗日乘数法设由，即得唯一驻点故由实际问题知抛物线和直线之间的最短距离在在，为：解法2转化为无条件极值设抛物线上点，它到直线的距离为d最小当且仅当最小设 唯一驻点当时，有极小值，从而该极小值就是所求的最小值唯一驻点=故抛物线和直线之间的最短距离为5、求抛物线被平面截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为此问题即是求在条件下的最大值和最

7、小值。令由 由-得假设代入，得，再代入，0, 不合题意，有代入，由，解得， 驻点为：和，由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为和6题略.解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,那么浮标体积V=, 故:3V-=0 (1)浮标外表积S(r,h,H)= 令L(r,h,H)=+ 由=0 2 =0 (3) (4)有, 代入3有, 故, r=h,再由2，有H=h, h=, ( r,)为S(r,h,H) 唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,时,材料最省。7题略解设BC=a, 那么横截面积S=(BC+AD)h=,湿周由 (1) (2)由(2)有1-2cos, 由(1), h=, 即()为唯一驻点，故当, h= 时，湿周最小.