思维数学-等积变形

等积变形知识精讲三角形和平行四边形的关系非常紧密。回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半。如图除了上面这种情形外，如图2屮的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半。（注意：长方形也是平行四边形）例题1如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，E是其中的任意一。那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？练习1如图,E是平行四边形ABCD中的任意一点，已知△AED与厶EBC的面积和是40平方厘米，那么图屮阴影部分的面积是多少？

如图3,两条平行线间有四个三角形；三角形OAB、三角形PAB、三角形MAB和三角形NAB。它们的底相同。都是AB;高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的。进一步，我们可以在直线ON上任取若干个点，这些点分别与A、B两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积都是相等的。我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高”，“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等。如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等。利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形。例题2如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米，高CH为9厘米，E是底边BC上任意的一点。那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？AFHD分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？练习2如图，平行四边形ABCD的靣积是100平方厘米。那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

例题3如图，ABEF和CDEF都是长方形。AB的长是4厘米，BC的长是3厘米。那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？分析」能否通过等积变形。把上层与下层的三角形分別变成一个三角形呢？练习3如图，ABCD和CDEF都是平行四边形，四边形ABFE面积为60平方厘米。请问：阴影部分面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中，最重要的一步就是去找其中的平行线，进而寻找同底等高、面积相等的三角形。例题4如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上的一点。已知DE和AB平行。那么与△ADC面积相等的三角形一共有哪几个？分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！

练习4如图，梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对?画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一。一条好的辅助线。往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单。一般我们习惯把辅助线画出虚线。在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线去构造、寻找同底等高的三角形，进而进行面积转化。挑战极限例题5如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米。求阴影部分的面积？「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦。如图，梯形ABCD中，对角线相交于如图，梯形ABCD中，对角线相交于O点，由AD与BC行，那么就有△ABC与△DBC同底等高、面积相等；△ABD与厶ACD同底等高、面积相等。那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？D我们观察一下。△ABC与厶BCD都包含有厶OBC，而△ABC与厶BCD面积相等，那么就有△ABO与厶CDO面积相等。我们把梯形中出现的这三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ABO与厶CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”。“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单。例题6如图，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70。AB=8,AD=15，那么四边形EFGO的面积是多少？分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？作业1、如图，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的。已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE的面积是多少平方厘米?

2、如图，长方形ABCD的面积为6,那么平行四边形BECF的面积是多少?3、如图，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色的三角形面积是10平方厘米。那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?4、如图,长方形的长为16,宽为5。那么阴影三角形的面积和为多少?5、如图，直角梯形ABCD中，CD=30，BD=40,BD和CD垂直。那么三角形ABC的面积是多少?