黑龙江省大庆市萨尔图区万宝学校2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

黑龙江省大庆市萨尔图区万宝学校2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（五四学制）

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 如图，已知中，，，，则的值为

A.
B.
C.
D.

2. 已知在中，，，则的度数是

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线的顶点坐标是

A.  B.  C.  D.

4. 对于二次函数，下列说法正确的是

A. 当时，随的增大而增大
B. 当时，有最大值
C. 图象的顶点坐标为
D. 图象与轴有两个交点

5. 抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为

A.
B.
C.
D.

6. 二次函数如图，则的根的情况是

A. 无实根
B. 有两个不相等的实根
C. 有两个相等的实根
D. 有两个同号不等实根
 

7. 如图，是的直径，点是上一点，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，是半圆的直径，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，直径为的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共10小题，共30分）

11. 在中，，均为锐角，且有，则是______三角形．
12. 计算：______．
13. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解集是______．
14. 因式分解：______．
15. 已知，则______．
16. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，这个数用科学记数法表示为______．
17. 在函数中，自变量的取值范围是______．
18. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：；；抛物线与轴的另一个交点的坐标为；若，为函数图象上的两点，则其中正确的结论是______填写代表正确结论的序号
19. 已知圆弧的半径是，所对的圆心角为，则弧长是______．
20. 如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为______．
    
     

三．计算题（本题共1小题，共6分）

21. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共7小题，共54分）

22. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，若，，求的半径及的长．
    
     

23. 先化简，再求值：，其中是的整数部分．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群．在处测得小岛在船的北偏东方向；后渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
     

25. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元件，市场调查发现，该商品每天的销售量件与销售价元件之间的函数关系如图所示．
    求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    求每天的销售利润元与销售价元件之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

26. 已知二次函数．
    将二次函数的解析式化为的形式；
    写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，为的直径，为延长线上的点，为的切线，切点为，，垂足为，在上，连接，．
    求证：为的切线；
    如图，是线段上一点，若平分，与线段交于点．
    求证：∽；
    若，，求的长．

28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
    求抛物线的解析式；
    若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；
    若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形要求，直接写出相应的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：在中，，
．
故选：．
根据锐角的余弦值的定义解决此题．
本题主要考查锐角的余弦值，熟练掌握锐角的余弦值的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据特殊角的三角函数值求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记的正切值为是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
此函数的顶点坐标为，
故选：．
根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
 

4.【答案】
 

【解析】解：二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数的图象开口向下，
且当时，有最大值．
当时，，方程无解，则抛物线与轴没有交点．
故选：．
利用二次函数的性质对、、进行判断；通过解方程可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

5.【答案】
 

【解析】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点为，
故选：．
根据函数的对称性即可求解．
本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，关键是利用函数的对称性解题．
 

6.【答案】
 

【解析】解：的解即为函数与轴的交点横坐标，
由图可知，函数向上平移个单位后与轴有个不同的交点，
函数与轴有个不同的交点，
方程有两个不相等实根．
故选：．
将方程的解转化为二次函数与轴的交点横坐标，然后结合函数图象判断．
本题考查了二次函数图象与轴的交点，解题的关键是熟知函数与方程之间的关系．
 

7.【答案】
 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，然后利用含度的直角三角形三边的关系求的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、原式，错误；
B、原式，错误；
C、原式，正确；
D、原式，错误，
故选C
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
连接，是圆内接四边形的一个角，根据圆内接四边形的对角互补，只要求出即可，根据是直径，则是直角三角形，根据内角和定理即可求解．
【解答】
解：连接，

是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】解：设与轴另一个的交点为点，连接，

，
是的直径，
即，
，
，
，
点的坐标为：．
故选：．
首先设与轴另一个的交点为点，连接，由，根据的圆周角所对的弦是直径，即可得是的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数，继而求得点的坐标．
此题考查了圆周角定理与含角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
 

11.【答案】等边
 

【解析】解：，
，，
则，，
故，
则是等边三角形．
故答案为：等边．
直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算，再利用等边三角形的判定方法得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质、等边三角形的判定，正确记忆相关数据是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：交点，，
不等式的解集是或．
故答案为：或．
根据图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．
本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，，
，，
解得，，
．
故答案为：．
根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程组求出、的值，代入代数式求值即可．
本题考查的知识点是：某个数的绝对值与某个数的平方的和为，那么绝对值里面的代数式为，平方的底数为．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】
解：将用科学记数法表示为．
故答案为．  

17.【答案】且
 

【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数，
解得；
根据分式有意义的条件，，
解得，
所以自变量的范围是且．
故答案为：且．
函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，就可以求解．
本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

18.【答案】
 

【解析】解：由图象可知，，，，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
抛物线与轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为的横坐标为，
抛物线与轴的另一个交点为，所以正确；
，为函数图象上的两点，又点离对称轴近，
，故错误．
正确，
故答案为：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对进行判断；利用抛物线与轴的交点个数对进行判断；利用抛物线的对称性对进行判断；利用二次函数的性质对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

19.【答案】
 

【解析】解：圆弧的半径为，所对的圆心角为，
则此圆心角所对的弧长，
故答案为．
利用弧长的计算公式计算即可．
本题考查了弧长的计算公式，运用公式解题时，需注意公式中的值在代入计算时不能带有度数．
 

20.【答案】
 

【解析】解：为坐标平面内一点，，
点的运动轨迹是在半径为的上，
如图，取，连接，

点为线段的中点，
是的中位线，
，
最大值时，取最大值，此时、、三点共线，
此时在中，，
，
的最大值是．
故答案为：．
先判断出点的运动轨迹是在半径为的上，再取，连接，则是的中位线，，进而可得最大值时，取最大值，此时、、三点共线，计算即可求出结果．
本题考察了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点的运动轨迹．
 

21.【答案】解：

；




．
 

【解析】先计算整式的乘法，再计算加减；
先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数及整式的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

22.【答案】解：弦，，
，
设的半径，
，
在中，
，
解得：，
连结，如图，
，，
，
是直径，
，
是的中位线，
，
在中，．
 

【解析】先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：原式，
是的整数部分，，
则原式．
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

24.【答案】解：作于，
根据题意，海里，，，


海里
在中，
，，
海里
所以这艘渔船继续向东追赶鱼群没有触礁的危险．
 

【解析】根据题意可知直角三角形的性质，勾股定理以及直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半．
 

25.【答案】解：设与的函数解析式为，
将、代入，得：
，
解得：，
所以与的函数解析式为；
根据题意知，


，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为，
答：每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
 

【解析】利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
 

26.【答案】解：
；
，
，
二次函数图象的开口向上．对称轴是直线，顶点坐标是．
 

【解析】利用配方法把一般式化为顶点式即可；
根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了二次函数的三种形式，学会使用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键，也考查了二次函数的性质．
 

27.【答案】证明：连接，如图，
为切线，
，
，且为直径，
垂直平分，
，
，
又，
，
，
，
为的切线；
，
，
，
又，
，
又平分，
，
∽；
解：过作于，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
又在中，
，
，
，
．
 

【解析】利用垂径定理得到垂直平分，所以，因为是切线，所以得到，因为，得到，通过等量代换，可以算得，即，又是半径，从而证明是切线；
利用，得到，又是直角三角形，则，证得，又平分，得到，从而得到∽；
利用∽，得到，利用等角的补角相等，得到，所以，过作于，解直角，得到的三角函数值，在直角三角形中，因为，，从而求得和的值，即可求．
此题是一道圆的综合题目，考察了切线的判定和圆中求线段长，利用垂径定理得到相关的线段和角度，熟练运用已知条件解三角形是解决此类问题的关键．
 

28.【答案】解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：，
解得，
所以此函数解析式为：；

点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
点的坐标为，
，
，
当时，有最大值为：．
答：时，的最大值为；

设．
根据平行四边形的性质知，且，则为平行四边形的边，
的横坐标等于的横坐标，
又直线的解析式为，
则．
由，得，
解得或或舍去．
由此可得：或或．
 

【解析】先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式；
设出点的坐标，利用，即可进行解答；
，则是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，但难度不大．