称x*为最优解，f(x*)为最优值。最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解
2 .共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。
.对于二次函数，f X =gx T GX b T X - c,从X k点出发，沿G的某一共轭方向d k作一维搜索，到达X k 1点，则X k 1点处的搜索方向d j应满足d j丁g kd -g k =0,即终点X k1与始点X k的梯度之差g k ^g k与d k 的共轭方向d j正交。
8数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。
数值计算迭代法的基本思想：
数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有
一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。(5分)
其迭代法计算的基本格式是：
从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长a (k)，从而到一个新点，即：
X(k+1) = x(k) + a (k)S(k) k=0,1,2,3 ..........
：2 二
a (b-a) =0.2 0.618 1-0.2 =0.6944
式中：x(k)――前一步取得的设计方案 (迭代点)。在开始计算时，即为迭代的初始点 x(0);
X(k+1)――新的修改设计方案(新的迭代点)
；
S(k)――第k 次迭代计算的搜索方向(可以看作本次修改设计的定向移动方向)
；
a (k)――第k 次迭代计算的步长因子，是个数量的。
计算题
1 .试用牛顿法求f X =8x ,
2 5x 22的最优解，设X 0 - 110 10 T 。初始点为 x^=ho io T ，则初始点处的函数值和梯度分别为
f X 0 i=1700 if x 0 二
：0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
f X 1 二 min f X 0 " 'f X 0 丨
a
二
min
ot
8 10 -200： 0 2
4 10 -200： 0 10-140： 0
5 10 -140： 02
匚
：0 1=1060000
： 0 -59600=0,
1
10-200： ° -1.2452830
x = | i=
[10-148。一 [2.1283019_
f X 1 = 24.4528302，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最 优解。
20
2、试用黄金分割法求函数 f
的极小点和极小值，设搜索区间
r
a
a,bl - 0.2,11 (迭代一次即可)
解：显然此时，搜索区间 〔a,bl-〔0.2,11，首先插入两点：-1和- 2，由式
：1 =b- (b-a) =1 -0.618 1 -0.2 =0.5056
16X 1 4X 2
_ 200， 4% 10x 2
|口40
X 1
川亠f X 。= 10 _：0
黑
2OO_：i 0
140
『10-140：0
从而算出一维搜索最佳步长
：
59600
1060000
= 0.0562264
则第一次迭代设计点位置和函数值
计算相应插入点的函数值
f : 0-40.0626, f :• 2 1=29.4962。
因为f ： i f ： 2。所以消去区间〔a,r 1,得到新的搜索区间 L ：m b 1, 即卜 “b l - la,bl - 0.5056,11。 第一次迭代： 插入点=0.6944，
: 2 =0.5056 0.618(1 -0.5056) = 0.8111
相应插入点的函数值 f :• j [=29.4962,f >2 1=25.4690，
由于f ： 2，故消去所以消去区间la,〉」，得到新的搜索区间l ：-1,bl ， 则形成新的搜索区间
'sb 】二a,bl- 0.6944,11。至此完成第一次迭代，继续重复迭代 过程，最终可得到极小点。
3•用牛顿法求目标函数
f X =16xf 25x |+5的极小点，设 X 0 "2
f X 1 =5，从而经过一次迭代即求得极小点
,f X =5
, 20
4.下表是用黄金分割法求目标函数 f
的极小值的计算过程，请完成下表。
ct
21T 。
解：由 X ° -〔2 2 T
:
x 1
；
严治1=严[ 〔50X 2 _一
-2
、
2
f X 0
二
:
x^x 2
-2 r
:f
2
x 2 32 0 IL 0 50
32
01 50
■1
_ 二
一2"1
因此可得：X 1 =X° - W f (X 0 )1 V f (X 0)=b
32
01
64
=I
1 [100 一 [0 一
50
